Человек с крыльями летит, и это важно. Николай Николаевич Константинов

В рассказе известного советского писателя Виктора Драгунского, «Где это видано, где это слыхано» (из цикла «Денискины рассказы», 1960 г.), есть стихи, которые стали яркой характеристикой математического образования в Cоветском Союзе:

«Папа у Васи силен в математике,

Учится папа за Васю весь год.

Где это видано, где это слыхано, –

Папа решает, а Вася сдает?!»

Авторы и герои – Денис и Мишка – во время концерта сбились и вместо того, чтобы спеть все куплеты, застряли на первом, бесконечно повторяя: «Папа у Васи силен в математике,Учится папа за Васю весь год. Где это видано, где это слыхано, –Папа решает, а Вася сдает?!». Только звонок прервал эту бесконечность повторов и хохота в зале!

Для меня это сильный образ: попытки улучшить математическое образование в школе ходят по кругу, все как будто понимают значимость, но традиционно уровень знаний и математического мышления падает все ниже и ниже.

Более того, почти все понимают, что корень проблемы в способе обучения, как пишет в своем очерке академик Алексей Семенов, в особенностях «традиционной школьной математики, «заточенной» на быстрое и безошибочное решение задач, которые, по большей части, решаются по заданному трафарету».

Эта пробуксовка тем более удивительна, что отечественная традиция развития математического образования, поиска эффективных моделей обучения – одна из самых передовых в Европе. Например, самый первый математический конкурс для старшеклассников проведён официально в Санкт-Петербурге в 1840 году. Ученики писали работы под надзором, без учебников, работы обезличивались и передавались на оценку университетским профессорам. Конкурс проводился три года подряд (1840–1842) и прекратился со сменой попечителя округа, то есть исчез не из-за отсутствия традиции, а из-за отсутствия институциональной поддержки.

Системный поворот в сторону селекции и зубрежки произошел в 70-х годах 19 века по сугубо политическим основаниям.

Это было сознательное заимствование прусской модели с прицелом на отбор и дисциплину мышления, а не на понимание содержания и тем более не на развитие личности учащихся. Среди молодёжи распространился «нигилизм», и министр Д. Толстой склонил Александра II сделать упор на механическое усвоение точных понятий, формирующих правильные установки, прежде всего на древних языках и математике.

Поразительно то, что представления об объёме и сложности школьной математики, сложившиеся в рамках этого заимствования 1871 года, сохранились до нашего времени. И это дало два эффекта: за счет жесткой селекции сформировалась плеяда выдающихся математиков, с другой стороны, в результате высокой сложности практически исчезла массовая математическая грамотность. И эту цену общество было готово платить за сложность и селективность математического образования.

Но время от времени возникают авангардные модели, соединяющие эти две конфликтные тенденции: формирование математической элиты и массовое математическое мышление.

Выдающимся автором модели математического образования стал Константинов, а очерк написал выдающийся ученый, математик и деятель образования, мой товарищ Алексей Семенов.

Символично, что автор и герой этого очерка встретились на педагогике сотрудничества.

Трагично, что старания отечественных энтузиастов математического образования и клерков ведомства не встретились, иногда сближались, но в итоге – расходились.

Замкнутый круг?

Александр Адамский

Выдающемуся учителю математики Николаю Николаевичу Константинову (1932–2021) принадлежит метафора «человека с крыльями», используемая его кругом как содержательное понятие. Из его пояснений и притч возникает, как мне кажется, следующее представление.

Наличие результата здесь необходимо, просто талантливости недостаточно. То есть человек с крыльями летит, и это важно. Конечно, это может закончиться, как у Икара, но результат – он был.

В детстве Николай Николаевич Константинов увлекался математикой, биологией, физикой и ходил в математический кружок. Он пишет: «Когда я и мои товарищи, будучи школьниками, начинали заниматься в математическом кружке при МГУ, нас удивило, что математика оказалась совсем не такой, как мы ее себе представляли. Мы думали, что математика – в основном законченное здание… А оказалось, мы сами можем придумывать теоремы и доказательства, и, что особенно удивительно, для того чтобы узнать, верны ли они, не надо лезть в книги, а нужно только подумать». Существенный элемент работы кружка – вхождение ученика в коллектив, где всем интересно занятие математикой. Соревнование с другими может быть важным мотивом деятельности, но собственное исследование неизведанной математической реальности, «соревнование с задачей» оказывается важнее.

На рубеже 1960-х гг. руководство страны озаботилось оторванностью школы от потребностей современного производства и научно-технического прогресса. Полное среднее образование было увеличено на один класс – с 10 до 11 лет обучения для введения практической (технической, профессиональной) подготовки школьников. Математики проинтерпретировали установку власти как возможность отойти от традиционной гимназически-знаниевой парадигмы в исследовательском направлении, более современном по предметному содержанию: учить школьников самостоятельному открытию математики и программированию.

Эта идея с тех пор реализуется в математической школе системы Константинова. Здесь творческая математика формально занимает не менее 20% объема учебного плана, а содержательно – около половины объема времени и интеллектуальных усилий учеников. Представить, что в школе появился новый предмет, требующий более 6 часов в неделю в течение двух лет в основной образовательной программе, при этом на уроках используются совершенно новые педагогические технологии, сегодня невозможно. Невозможно было и в 1950–1960 гг. Но – случилось! Через несколько лет от одиннадцатилетки вернулись к десятилетке, но школы «чудом» сохранили в своих учебных планах место для творческой математики, к которой могло добавляться и программирование.

Вот как образовательный процесс организован в системе Константинова.

Весь курс представляется в виде последовательности отдельных тем, глав. Содержание темы – определения и задачи – размещается на листке бумаги А4 (в первые годы – напечатанные на пишущей машинке под копирку с формулами, вставленными вручную). Каждый ученик получает свой листок. Очередная задача обладает существенной новизной по отношению к уже известному, часто такая задача – это новая теорема или какой-то шаг в доказательстве такой теоремы, и всегда это небольшое открытие. Задача может расширять понимание «теоретической» темы или служит иллюстрацией к ней. Возможна и задача, в которой требуется что-то посчитать, исходя из элементов теории, построить контрпример. Как правило, решение задачи ученик записывает (в этом отличие от многих кружков). Запись может происходить на уроке или дома, решение же очередной задачи происходит в голове также в периоды сна, поездок на метро, воскресных пробежек и прогулок, летних походов и лагерей…

Работа с листками происходит индивидуально, в индивидуальном темпе каждого ученика. Предполагается, что все решения проверяются педагогом в форме диалога, индивидуального обсуждения ученика с учителем. Это – не обязательно совместное чтение всего решения, может быть достаточно одного вопроса учителя к ученику, который вызовет пересмотр решения – ученик может продолжить самостоятельное исследование. Ошибка в решении не означает прекращения работы над задачей, а ведет к доработке, затем – продолжению такого индивидуального обсуждения. Ученик имеет возможность «сдать» свое решение задачи на ближайшем же занятии, но может «сдать» позже сразу несколько задач. Среди задач листка обычно есть обязательные и необязательные («со звездочкой»). Это позволяет синхронизировать образовательный процесс для всех учеников. В исключительных случаях, если ученик где-то застрял и есть опасность того, что он/она существенно отстанет от класса, решению задачи может предшествовать обсуждение по инициативе ученика или учителя. Таким образом удается достичь естественной дифференциации, выравнивания темпа продвижения для всего класса.

С самого начала у учеников разрушается (как правило – уже устойчивый) стереотип отметки как цели учения. Отметки в системе Константинова реально отсутствуют, хотя в силу школьных порядков иногда «выставляются». Однако учителя подчеркивают, что отметки не имеют слишком прямого отношения к реальному качеству работы. Бывает, учителя используют отметки как организующий, упорядочивающий фактор: ученикам надо успевать все делать вовремя.

Для работы в системе Константинова требуется несколько преподавателей в классе, с ними школьники обсуждают свои решения, – один учитель не справится. Этими преподавателями обычно являются студенты-математики. Система Николая Николаевича Константинова стала примером педагогики сотрудничества: ученики и учителя находятся в равном положении по отношению к математической истине, совместно к ней приближаются. Сам Константинов рассказывает о неудобстве, возникавшем у него в начальной школе, когда он вместо того, чтобы выучить таблицу умножения, придумывал произведение двух чисел, и тем самым – «обманывал» учителя.

Система формирует на метапредметном уровне обобщенные когнитивные стратегии, ценностные и волевые результаты. К ним относятся представления об объективной достоверности и ценности некоторых видов знания и своих шагов в его достижении, о циклах индукции, дедукции и абдукции (по Пирсу), о правдоподобных рассуждениях (по Пойя). Присутствуют упорство в стремлении к результату, способность к письменному изложению своих мыслей и к диалогу. Важнейшим комплексным результатом является пре-адаптивность (по Асмолову) – способность и готовность к решению новых, неожиданных задач, задач-которые-неизвестно-как-решать.

Выпускники системы возвращаются в школу в качестве преподавателей системы. Но этим влияние системы не ограничивается: ее выпускники и преподаватели образовали в нашей стране сообщество людей с общим представлением о том, как можно создавать и как можно изучать математику. Свое представление эти люди распространили на различные сферы деятельности.

Математика в системе Константинова отличается от традиционной школьной математики, «заточенной» на быстрое и безошибочное решение задач, которые, по большей части, решаются по заданному трафарету. Для изучения «школьной программы» и поступления в вузы в тех школах, где работают матклассы системы Константинова, как правило, отдельно сохраняются и уроки традиционной школьной математики: они нужны для сдачи экзамена – государственной итоговой аттестации (ГИА).

При этом для ГИА характерно именно решение по трафарету: задача очередного года, стоящая на каком-то месте в «контрольно-измерительных материалах» ЕГЭ, в большой степени копирует задачу предыдущего года.

За прошедшие 60 лет система Константинова доказала свою жизнеспособность, воспроизводимость и результативность (в терминах ФГОС – предметную, метапредметную, личностную). Она может использоваться в намного более широком круге школ, чем сегодня, потенциально – во всей системе образования. В частности, мы ее использовали в начальной школе и в подготовке будущих учителей.

Сегодня бесспорно:

• Самостоятельное открытие истины необходимо для жизни. Мы умеем формировать необходимые для этого умения и стремление в курсе математики и использовать вне этого курса.
• Традиционные результаты обучения в математике во многом потеряли смысл, что высвобождает временной и энергетический ресурс учеников и учителей для творческой работы.
• Формируемая в системе мотивация радикально снижает риски нечестности.

Современные технологии раздачи индивидуальных заданий, дистанционного взаимодействия, ИИ и пр., делают реальным решение экономической и кадровой проблемы нехватки педагогов, их перегрузки, средств для их оплаты и использования ресурса студентов. Студентов – будущих математиков, как и учителей – можно поддерживать педагогически, применяя ИИ, учителей и студентов – будущих педагогов можно поддерживать в математической компетентности.

Таким образом, система Константинова возможна и необходима как будущее школы.

Можно считать, что когнитивный и эмоциональный процессы в системе Константинова строятся вокруг взаимодействия Ученика и Задачи, которую «неизвестно, как решать». И совсем не случайно именно Николаю Николаевичу принадлежит метафора «человека с крыльями», которому недостаточно просто талантливости, а необходим неожиданный результат.

Человек с крыльями ЛЕТИТ, и это важно.

Алексей Семенов,

академик РАН (отделение математических наук),

академик РАО (отделение общего образования),

завкафедрой МГУ, директор Института кибернетики

и образовательной информатики им. А.И. Берга ФИЦ ИУ РАН,

член Комиссии РАН по экспертизе

Федеральных государственных образовательных стандартов

и учебников